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Investigação de novos regularizadores em problemas inversos

Problemas inversos em geofísica usualmente desembocam na necessidade de encontrar um vetor de parâmetros p ∈ ℜm (parâmetros de um modelo de Terra) que explique um vetor de dados experimentais Fexp ∈ ℜn (as medidas ou observações geofísicas) através do funcional F(p); matematicamente F(p) :ℜm → ℜn. Exceto nas situações em que se deseja um ajuste estatístico robusto das observações geofísicas, os problemas inversos usualmente resultam em problemas do tipo quadrados mínimos da forma:

(I)

Estes problemas são mal postos no sentido de Hadamard, o termo mal posto podendo significar aqui a existência de muitas soluções, mas, sobretudo a presença de instabilidade; ou seja, pequenas perturbações em Fexp (a exemplo de ruídos nas medidas geofísicas) podem resultar em grandes variações na solução fp* . A saída clássica para esta ambigüidade (Tikhonov & Arsenin, 1977) está na regularização do problema, isto é, na introdução de restrições ou vínculos em p. Na prática geofísica, isto significa trocar o problema I acima por um outro, na forma

(II)

em que ΦR(p,α) seja alguma função que melhore significativamente o condicionamento do problema I, quando α ≠ 0, mas que, ao mesmo tempo, conduza à solução do problema original, à medida que α → 0. O uso de um funcional regularizador ΦR(p,α) no problema estendido II tem como contrapartida inevitável a introdução de um viés na solução do problema original. Para cada problema do tipo I há vários métodos de regularização possíveis, desde o clássico ΦR(p,α) = α ||p||2, que atende à necessidade matemática de regularizar o problema, mas que freqüentemente introduz um viés sem aderência ao problema original e sem significado geofísico-geológico (Silva et al. 2001), até regularizações como as desenvolvidas em (Barbosa et al. 1999), visando incorporar informações mais adequadas a certos ambientes geológicos.

Do nosso ponto de vista (Silva et al. 2001), a tarefa de um intérprete matemático de problemas geofísicos é encontrar regularizações com aderência às propriedades geofísicas, como fizemos em Barbosa et al. (1999), onde trabalhamos com vínculos de continuidade entre os parâmetros, via funcionais regularizadores do tipo

(III)

Há desafios matemáticos interessantes nestes problemas. Em especial o de reconhecer, em cada problema, as facilidades matemáticas para melhorar o condicionamento do problema, porém se limitando a usar as informações geofísicas e geológicas disponíveis. Em particular a boa ponderação dos parâmetros é um tema importante a ser perseguido também do ponto de vista matemático.

Há situações que julgamos muito promissoras e relativamente inexploradas nas quais os parâmetros α e β passam a ser variáveis a serem programadas em função dos dados. Em especial, na proposição de vínculos de suavidade espacial por partes, nos quais temos parâmetros a determinar numa rede e sabemos que há continuidade entre alguns dos parâmetros vizinhos, mas também esperamos que certos parâmetros vizinhos devam ser descontínuos, e onde não sabemos a priori quais pares de parâmetros serão de um tipo e quais serão do outro.

Há situações que julgamos muito promissoras e relativamente inexploradas nas quais os parâmetros α e β passam a ser variáveis a serem programadas em função dos dados. Em especial, na proposição de vínculos de suavidade espacial por partes, nos quais temos parâmetros a determinar numa rede e sabemos que há continuidade entre alguns dos parâmetros vizinhos, mas também esperamos que certos parâmetros vizinhos devam ser descontínuos, e onde não sabemos a priori quais pares de parâmetros serão de um tipo e quais serão do outro.

Para o caso de dados gravimétricos, já exploramos (Barbosa et al. 1999) um algoritmo deste tipo para o problema da inversão do relevo do embasamento cristalino de bacias sedimentares. Contudo, tal abordagem ainda não foi explorada para aumentar a resolução dos problemas inversos em sísmica, especialmente em tomografia, onde acreditamos que o seu potencial seja muito grande. Entendemos que não só é necessário reforçar empiricamente esta linha de trabalho, mas também registramos que há a necessidade de maior entendimento matemático das propriedades e possibilidades teóricas para os regularizadores contidos nesta classe.

O grupo da UFRN se propõe a trabalhar nesta direção contando com a cooperação dos grupos da UFPA, UFBA e UNICAMP que também têm bastante experiência na área de modelagem e inversão. Registre-se que esta é uma área de forte experiência e intercâmbio anterior entre UFPA e UFRN.